NSUrlSession — это системный механизм iOS, позволяющий организовать длительные процессы загрузки и заливки данных по сети, при этом система сама правильно обработает обрывы связи, докачает файл, если это возможно и уведомит приложение о результате.

Чтобы использовать NSUrlSession нам потребуется сделать следующее:

1. Создать класс-хэлпер, который будет инкапсулировать всю логику работы с NSUrlSession
2. Создать класс-делегат наследник NSUrlSessionDownloadDelegate, который будет уведомлять внешний код о прогрессе загрузки файла, а так же об окончании загрузки
3. Создать экземпляр класса NSUrlSession и присвоить ему делегат
4. Для каждого URL файла создать NSUrlRequest и NSUrlSessionDownloadTask, и запустить скачивание
5. Так же необходимо позаботиться о том, чтобы не потерять информацию о том, какому Url соответствует какой NSUrlSessionDownloadTask, чтобы потом корректно сообщать внешнему коду о ходе скачивания
   
   

Далее код готового решения с комментариями о деталях реализации:

/// <summary>
/// Класс, который реализует всю работу с механизмом NSUrlSession для реализации загрузки файлов в фоновом режиме
/// </summary>
public class DownloadSession
{
    /// <summary>
    /// Создаем экземпляр конфигурации для сессии (с таким ID сессия может быть только одна в приложении)
    /// </summary>
    private static NSUrlSessionConfiguration _downloadConfiguration = NSUrlSessionConfiguration.BackgroundSessionConfiguration("com.appid.background.download");

    /// <summary>
    /// Класс-делегат, инкапсулирует всю логику по уведомлению внешнего кода о состоянии загрузки, а так же занимается менеджментом хранения ссылок на скачиваемые файлы
    /// </summary>
    public sealed class ChatBackgroundSessionDelegate : NSUrlSessionDownloadDelegate
    {
        /// <summary>
        /// Словарь, который хранит соответствие - таск загрузки <--> url файла
        /// </summary>
        public Dictionary<NSUrlSessionDownloadTask, string> QueueHolder { get; private set; }

        public delegate void DownloadingCompleteDelegate(string url, NSUrl tempFileLocation);
        public delegate void DownloadProgressDelegate(string url, int progressPercent);

        /// <summary>
        /// Экшн, который будет вызываться при окончании загрузки файла (в параметрах будут url файла и NSUrl на временный скачанный файл)
        /// </summary>
        public DownloadingCompleteDelegate CompleteAction { get{ return _completeAction; } set{ _completeAction = value; } }
        private DownloadingCompleteDelegate _completeAction;

        /// <summary>
        /// Экшн, который будет вызываться при изменении прогресса скачивания файла (в параметрах будет url файла и процент скачивания)
        /// </summary>
        public DownloadProgressDelegate ProgressDelegate { get{ return _progressDelegate; } set{ _progressDelegate = value; } }
        private DownloadProgressDelegate _progressDelegate;

        /// <summary>
        /// Конструктор, который создает словарь-очередь и присваивает все необходимые экшны
        /// </summary>
        public ChatBackgroundSessionDelegate(DownloadingCompleteDelegate downloadCompleteAction, DownloadProgressDelegate progressDelegate = null)
        {
            _completeAction = downloadCompleteAction;
            _progressDelegate = progressDelegate;

            QueueHolder = new Dictionary<NSUrlSessionDownloadTask, string>();
        }

        /// <summary>
        /// Метод, вызывается системой при изменении прогресса скачивания файлов
        /// </summary>
        public override void DidWriteData (NSUrlSession session, NSUrlSessionDownloadTask downloadTask, long bytesWritten, long totalBytesWritten, long totalBytesExpectedToWrite)
        {
            if (_progressDelegate == null || !QueueHolder.ContainsKey(downloadTask))
            {
                return;
            }

            //если в очереди найден такой файл и экшн был передан извне - то вызываем экшн в основном потоке и вычисляем процент скачивания файла
            InvokeOnMainThread(() =>
                {
                    _progressDelegate.Invoke(QueueHolder[downloadTask], Convert.ToInt32(totalBytesWritten * 100 / totalBytesExpectedToWrite));
                });
        }

        /// <summary>
        /// Метод, который вызывается при завершении загрузки файла
        /// </summary>
        public override void DidFinishDownloading(NSUrlSession session, NSUrlSessionDownloadTask downloadTask, NSUrl location)
        {
            if (_completeAction == null || !QueueHolder.ContainsKey(downloadTask))
            {
                return;
            }

            InvokeOnMainThread(() =>
                {
                    _completeAction.Invoke(QueueHolder[downloadTask], location);
                });
        }
    }

    private ChatBackgroundSessionDelegate _delegate;
    private NSUrlSession _downloadSession;

    /// <summary>
    /// Конструктор класса-холдера
    /// </summary>
    public DownloadSession(ChatBackgroundSessionDelegate.DownloadingCompleteDelegate downloadCompleteAction,
        ChatBackgroundSessionDelegate.DownloadProgressDelegate progressDelegate = null)
    {
        //создаем делегат
        _delegate = new ChatBackgroundSessionDelegate(downloadCompleteAction, progressDelegate);

        //создаем сессию (при этом если сессия с такой конфигурацией уже есть в системе - то новая сессия создана не будет, а в переменную попадет старая сессия)
        _downloadSession = NSUrlSession.FromConfiguration(
            _downloadConfiguration,
            _delegate,
            new NSOperationQueue());
    }

    /// <summary>
    /// Стартует процесс загрузки
    /// </summary>
    /// <param name="url">URL.</param>
    /// <param name="file">File.</param>
    /// <param name="message">Message.</param>
    public void StartDownload(string url)
    {
        if (string.IsNullOrEmpty(url))
        {
            return;
        }

        NSUrl nsurl = NSUrl.FromString(new NSString(url).CreateStringByAddingPercentEscapes(NSStringEncoding.UTF8));
        NSUrlRequest request = NSUrlRequest.FromUrl(nsurl);
        NSUrlSessionDownloadTask task = _downloadSession.CreateDownloadTask(request);

        //нужно именно попробовать создать сессию и только после этого взяь ее делегат, кастануть его к нужному типу и забиндить реквесты
        //делаем так, потому что сессия глобально в системе создается только одна и при попытке повторного ее создания - новый делегат просто не присваивается :)
        //экшны копируются из нового делегата в старый, потому что мы никак физически не можем заменить делегат (он только для чтения)
        if (_delegate != (ChatBackgroundSessionDelegate)_downloadSession.Delegate)
        {
            ChatBackgroundSessionDelegate newDelegate = (ChatBackgroundSessionDelegate)_downloadSession.Delegate;
            newDelegate.CompleteAction = _delegate.CompleteAction;
            newDelegate.ProgressDelegate = _delegate.ProgressDelegate;
        }
        _delegate = (ChatBackgroundSessionDelegate)_downloadSession.Delegate;

        //добавляем наш Url и таск в очередь
        _delegate.QueueHolder.Add(task, url);

        //стартуем загрузку
        task.Resume();
    }
}

Использовать все это хозяйство можно следующим образом:

//создаем сессию загрузки данных
DownloadSession session = new DownloadSession((url, tempFileLocation) =>
    {
        //если завершена загрузка файла - сохраняем его на диск
        if (item.url == url)
        {
            /////////////////
        }
    }, (url, percent) =>
    {
        if (item.url == url)
        {
            //отображаем прогресс загрузки
        }
    });

//стартуем загрузку
session.StartDownload(item.url);